Mr.RNA

矩阵解决强化次数期望

      在设计游戏的培养系统时，少不了会涉及强化。虽然移动游戏的爆发使得设计愈发倾向简化，强化也就变成了攒材料逐级提升的模式，但在端游中，强化往往还包含成功，成功暴击，失败，失败掉级等等情况。作为游戏策划，设计了玩法之后，很重要的就是要能对其后果有足够准确的把握。那么知道从某级强化到某级的期望次数、中间过程，就是把握该系统消耗节奏与玩家体验的重点了。

     假设有道具“风剑”的强化概率如下，如何快速求得各级间强化期望次数？

      根据题意得到各等级间转移概率矩阵如下：

      设10级为强化上限，故到10级后将100%停留。这其实是一个吸收马尔科夫链，其还恰好是标准形式。含有r个吸收状态和t个非吸收状态的吸收链，其转移矩阵的标准形式为：

     则可得：

    对于吸收链的标准形式，矩阵E-Q具有可逆矩阵N。N的元素nij是从非吸收状态si到另一非吸收状态sj的平均转移次数。设c为元素全为1的列向量c=[1,1,···,1]，则t=Nc的第i个分量是从第i个非吸收态出发，到某个吸收状态的平均转移次数。

    可得N如下

     可得t如下 

     非吸收状态间的期望步数可由N中对应项求得，不再赘述。
      其所用知识为吸收马尔科夫链的相关性质，有兴趣者可自行查阅。Excel操作起来非常方便，关键函数MMULT（乘积），MINVERSE（求逆矩阵）。

     用VBA模拟强化，对结果验证如下：

      嗯，基本还是符合的。